do.unicyb.kiev.ua

  • Збільшення розміру шрифта
  • Звичайний розмір шрифта
  • Зменшити розмір шрифта

Алгебра та геометрія (Довгай Б.В.)

Друк PDF

Завдання: читати літературу з питань, винесених на самостійну роботу; до 22 лютого 2018 р. надіслати на електронну пошту викладача практичних занять (Довгай Б.В. Ця електронна адреса захищена від спам-ботів, Вам потрібно включити JavaScript для перегляду , Самойленко І.В. Ця електронна адреса захищена від спам-ботів, Вам потрібно включити JavaScript для перегляду , Якимів Р.Я. Ця електронна адреса захищена від спам-ботів, Вам потрібно включити JavaScript для перегляду ) розв’язання завдань на МКР (в кожній задачі вибираєте варіант, що відповідає номеру студента за списком групи).

 

Питання, винесені на самостійну роботу в період 24.01.2018 – 28.02.2018

Поняття лінійного простору. Наслідки аксіом лінійного простору. [2, гл. 7, §29], [3, роз. 3, §3.1], [9]. 1 год.

Лінійна залежність та лінійна незалежність системи векторів, властивості. [2, гл. 7, §30; гл. 2, §9], [3, роз. 3, §3.1] , [9]. 1 год.

Лема про дві системи. [2, гл. 7, §30; гл. 2, §9], [3, роз. 3, §3.1] , [9]. 1 год.

Поняття базису простору. Теореми про базис. [2, гл. 7, §30], [3, роз. 3, §3.2] , [9]. 1 год.

Матриця переходу від одного базису до іншого. Зв’язок координат вектора в різних базисах. [2, гл. 7, §30], [3, роз. 6, §6.1] , [9]. 1 год.

Поняття підпростору, елементарні властивості. [2, гл. 7, §32], [3, роз. 3, §3.4] , [9]. 1 год.

Операції над підпросторами. Поняття суми підпросторів. [2, гл. 7, §32], [3, роз. 3, §3.4] , [9]. 1 год.

Поняття прямої суми підпросторів. Еквівалентність двох означень прямої суми. [3, роз. 3, §3.4] , [9]. 1 год.

Теорема про базис прямої суми. [3, роз. 3, §3.4] , [9]. 1 год.

Теорема про розмірність суми та перетину підпросторів. [2, гл. 7, §32], [3, роз. 3, §3.4] , [9]. 1 год.


Завдання на МКР

 

Задача 1. Перевірити, чи утворює система векторів лінійний підпростір в просторі всіх n-вимірних векторів. Якщо система векторів є підпростором, знайти його базис та розмірність.

1) Усі вектори, у яких координати з парними номерами рівні між собою.

2) Усі вектори, сума координат яких дорівнює 0.

3) Усі вектори, у яких координати з парними номерами дорівнюють 0.

4) Усі вектори, у яких усі ненульові координати одного знаку.

5) Усі вектори, у яких перша та остання координати рівні між собою.

6) Усі вектори, у яких перша координата дорівнює 0.

7) Усі вектори вигляду (α,β, α,β,α,β,…), де α,β – будь-які числа. .

8) Усі вектори, у яких перша координата дорівнює сумі усіх інших координат.

  1. Усі вектори, у яких усі координати рівні.

10) Усі вектори, у яких перша координата дорівнює сумі третьої та четвертої при n≥4.

 

Задача 2. Довести, що кожна з двох систем векторів e1,e2,…,en та e1’,e2’,…,en’ утворює базис простору і знайти матрицю переходу від базису e1,e2,…,en до базису e1’,e2’,…,en’.

 

1) e1=(1,1,1,1), e2=(1,2,1,1), e3=(1,1,2,1), e4=(1,3,2,3);

e1’=(1,0,3,3), e2’=(2,3,5,–4), e3’=(2,2,5,4), e4’=(2,3,–4,4);

 

2) e1=(4,2,1), e2=(5,3,2), e3=(3,2,1);

e1’=(1,4,0), e2’=(4,3,1), e3’=(1,2,3);

 

3) e1=(1,1,1,1), e2=(1,2,1,3), e3=(1,1,2,2), e4=(1,1,1,3);

e1’=(3,5,7,2), e2’=(1, 8,6, 5), e3’=(1,0,1,3), e4’=(2,2,2,2);

 

4) e1=(1,0,1), e2=(2,1,0), e3=(1,0, 0);

e1’=(1,1,1), e2’=(0,1,2), e3’=(3,2,0);

 

5) e1=(2,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1, 1);

e1’=(2,1,2), e2’=(3,3,1), e3’=(1,2,0);

 

6) e1=(3,2,3), e2=(4,2,4), e3=(3,3,4);

e1’=(1,1,2), e2’=(1,2,3), e3’=(3,2,4);

 

7) e1=(3,4,0), e2=(2,2,1), e3=(1,3,2);

e1’=(0,7,8), e2’=(–3,2,7), e3’=(1,10,10);

 

8) e1=(1,2,1,0), e2=(1,1,1,1), e3=(1,2,1,1), e4=(1, –1,0,1);

e1’=(2,1,0,1), e2’=(0,1,2,2), e3’=(2,1,1,2), e4’=(1,3,1,2);

 

9) e1=(8,6,7), e2=(–16,7,13), e3=(9,3,7);

e1’=(1,–2,1), e2’=(3,–1,2), e3’=(2,1,2);

 

10) e1=(1,1,2), e2=(1,2,3), e3=(1,2,4);

e1’=(2,–3,1), e2’=(3, –1,5), e3’=(1,–4,3);

 

Задача 3. Знайти розмірність і базис лінійного підпростору, породженного системою векторів

 

1) a1=(4,1,1), a2=(6,3,3), a3=(1,1,2), a4=(3,1,0);

2) a1=(1,2,1,1), a2=(1,3,2,–1), a3=(0,2,2,–3), a4=(1,4,3,2);

3) a1=(1,1,1,1), a2=(5,4,7,1), a3=(3,–3,5,1), a4=(9,–6,11,1);

4) a1=(0,1,1,0), a2=(1,0,0,1), a3=(–1,0,1,1), a4=(0,0,1,2); a5=(2,–1,1,2)

5) a1=(1,1,1,1,0), a2=(1,1,–1,–1,–1), a3=(2,2,0,0,–1), a4=(1,1,5,5,2); a5=(1,–1,1,0,0)

6) a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,1,3), a3=(3,–5,7,2), a4=(1,–7,5,2);

7) a1=(1,2,1,3), a2=(1,1,1,3), a3=(1,0,1,3), a4=(2,–1,1,6); a5=(–2,–1,2,–6)

8) a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,1,3), a3=(1,1,2,2), a4=(1,1,1,3); a5=(2,3,3,3)

9) a1=(1,1,1,1), a2=(5,7,3,–9), a3=(1,2,2,2), a4=(3,–10,0,–12);

10) a1=(3,1,3,1), a2=(1,2,1,2), a3=(1,2,0,2), a4=(1,–1,1,–1); a5=(–3,–3,3,–3)

 

Задача 4. Знайти систему лінійних рівнянь, яка задає підпростір, породжений системою векторів

 

1) a1=(1,3,2,–5), a2=(1,2,1,–2), a3=(3,–5,–2,3), a4=(2,–3,1,1)

2) a1=(2,3,5,1), a2=(1,2,3,1), a3=(3,13,10,4), a4=(1,–19,0,–2)

3) a1=(1,1,1,–1,1), a2=(1,1,0,0,3), a3=(3,1,1,–1,7), a4=(0,2,–1,1,2)

4) a1=(1,1,1,1), a2=(0,3,2,1), a3=(–2,1,0,–1), a4=(–4,5,2,1)

5) a1=(2,–1,4,2), a2=(3,0,6,1), a3=(–1,2,–2,–3), a4=(1,1,2,–1)

6) a1=(1,–3,4,–2), a2=(3,–1,–1,1), a3=(3,7,–14,8), a4=(2,2,–5,3)

7) a1=(2,3,1,2), a2=(3,1,2,1), a3=(1,–9,2,–5), a4=(6,–5,5,–2)

8) a1=(2,–1,1,3), a2=(1,2,3,4), a3=(1,12,13,14), a4=(–1,8,7,6)

9) a1=(1,–1,1,–1), a2=(3,2,1,0), a3=(1,–6,3,–4), a4=(1,14,–5,8)

10) a1=(1,2,3,5), a2=(3,2,1,3), a3=(1,4,7,11), a4=(3,4,5,9)

 

Задача 5. Знайти базиси суми і перетину лінійних підпросторів, породжених системами векторів a1,…,ak і b1,…,bm відповідно.

 

1) a1=(1,2,1,3), a2=(1,1,1,3), a3=(1,0,1,3);

b1=(1,1,1,1), b2=(1,1,2,2), b3=(1,1,–1,1);

 

2) a1=(1,2,3), a2=(4,3,1), a3=(2,1,5);

b1=(1,1,1), b2=(–3,2,0), b3=(–2,3,1);

 

3) a1=(1,2,3), a2=(0,1,1), a3=(1,1,2);

b1=(4,3,1), b2=(1,1,0), b3=(5,3,2);

 

4) a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,1,3), a3=(1,2,1,3), a4=(1,0,1,3);

b1=(1,1,1,2), b2=(1,1,2,2), b3=(3,3,4,5), b4=(0,0,1,1);

 

5) a1=(1,1,1), a2=(4,2,1), a3=(2,0,–1);

b1=(2,3,1), b2=(1,4,1), b3=(5,2,1);

 

6) a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,1,3), a3=(1,1,2,2);

b1=(0,0,1,1), b2=(2,2,3,3), b3=(1,1,2,2);

 

7) a1=(1,2,1,3), a2=(1,8,6,5), a3=(0,10,–5,8);

b1=(1,4,1,5), b2=(3, –2,6,3), b3=(4,2,5,8);

 

8) a1=(1,1,0,0), a2=(0,1,1,0), a3=(0,0,1,1);

b1=(1,0,1,0), b2=(0,2,1,1), b3=(1,2,1,2);

 

9) a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,1,–1), a3=(1,1,1,–1);

b1=(1,–1,1,1), b2=(1,–1,0,0), b3=(3,–1,1,1);

 

10) a1=(1,2,1,1), a2=(2,3,1,0), a3=(3,1,1,–2);

b1=(0,4,1,3), b2=(1,0,–2,–6), b3=(1,0,3,5);

 

 

 

СПИСОК Рекомендованої літератури

а) основна:

  1. Ефимов Н.В Краткий курс аналитической геометриии. М.: Наука, 1969. – 272с.

  2. Курош А.Д Курс высшей алгебры . М.: Наука, 1984.

  3. Чарін В.С Лінійна алгебра. К: Техніка, 2003.

  4. Кострикин А.И. Введение в алгебру, М: Физматлит, 2000.

  5. Винберг Э.Б. курс алгебры, М: Факториал, 2002.

  6. Клетеник И.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1987. – 724с.

  7. Проскуряков И.В. Сборник задач по лиейной алгебре . М: Наука. 1984.

  8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С.Сборник задач по высшей алгебре. М: Наука, 1977.

  9. Лінійна алгебра

б) додаткова :

  1. Беклемишев Д.В.Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1985.

  2. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре М: Наука, 1975.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра М: Наука, 1984.

  4. Сборник задач по линейной алгебре/ Под ред. А.И. Кострикина М: МГУ, 1984.

  5. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М: Наука, 1970.